Rappel: le principe d'une démonstration par l'absurde consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut montrer.
A partir de cette hypothèse, on déroule un raisonnement qui va nous mener à une contradiction (quelque chose qui
ne peut pas être possible). Cette contradiction nous permet d'affirmer que ce que l'on a supposé au départ est faux,
donc que ce qu'on veut montrer est vrai.
Le but de cet exercice est de démontrer par l'absurde que √2 est irrationnel.
On va d'abord supposer par l'absurde que √2 peut s'écrire sous la forme d'un quotient irréductible (avec a, b E N
et b = 0). C'est-à-dire : √2 = avec a E N et b E N (où Nº signifie N privé de 0).
1) Démontrer que a² = 2b². En déduire que a² est pair.
2) Démontrer que a est pair.
AIDE: On utilisera la propriété ci-dessous.
<< Le carré d'un nombre x a la même parité que ce nombre x. >>
On écrira désormais a sous la forme 2a' où a' E N.
3) Exprimer alors b² en fonction de a'. Que peut-on en déduire sur la parité de b?
4) Que peut-on dire sur la fraction? Expliquer la contradiction sur laquelle on aboutit (bien relire l'hypothèse de
départ).
5) Conclure.