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1) Trouver un nombre dont le carré est égal a 9. 
2) Trouver un nombre dont le carré est égal a 49. 
3) Il n'existe pas de nombre décimal dont le carré est égal a 2. L'algorithme de Héron permet néanmoins d'en calculer une valeur approchée. 
a) Effectuer les calculs successifs suivants en prenant A=2. On donnera les résultats sous forme de fractions simplifiées. 
B= 1/2 x ( A + 2/A ) C= 1/2 x ( B+2/B) D=1/2 x (C+ 2D) 
b) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée a 0,000 001 près de E= &/2 x (D + 2/D). 
Vérifier alors que E² est une valeur approchée de 2.

Sagot :

Stiaen
Bonjour,

1) Trouver un nombre dont le carré est égal a 9.

[tex]\sqrt{9}=3\rightarrow 3^2=9[/tex]

2) Trouver un nombre dont le carré est égal a 49.

[tex]\sqrt{49}=7\rightarrow 7^2=49[/tex]

3) a) Effectuer les calculs successifs suivants en prenant A=2.
On donnera les résultats sous forme de fractions simplifiées.

[tex]\boxed{A=2}[/tex]

[tex]B=\dfrac{1}{2}\times\left(A+\dfrac{2}{A}\right)\\\\B=\dfrac{1}{2}\times(2+1)\\\\B=\dfrac{1}{2}\times 3\\\\\boxed{B=\dfrac{3}{2}}[/tex]

[tex]C=\dfrac{1}{2}\times\left(B+\dfrac{2}{B}\right)\\\\\\C=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{\dfrac{3}{2}}\right)\\\\\\C=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}\right)\\\\C=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{9}{6}+\dfrac{8}{6}\right)\\\\\\C=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{17}{6}\\\\\boxed{C=\dfrac{17}{12}}[/tex]

[tex]D=\dfrac{1}{2}\times\left(C+\dfrac{2}{C}\right)\\\\\\D=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{17}{12}+\dfrac{2}{\dfrac{17}{12}}\right)\\\\\\D=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}\right)\\\\\\D=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{289}{204}+\dfrac{288}{204}\right)\\\\\\D=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{577}{204}\\\\\boxed{C=\dfrac{577 }{408}}[/tex]

3) b)
b) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée a 0,000 001 près de [tex]E=\dfrac{1}{2}\times\left(D+\dfrac{2}{D}\right)[/tex]

Vérifier alors que E² est une valeur approchée de 2.

[tex]E=\dfrac{1}{2}\times\left(D+\dfrac{2}{D}\right)\\\\\\E=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{577}{408}+\dfrac{2}{\dfrac{577}{408}}\right)\\\\\\E=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{577}{408}+\dfrac{816}{577}\right)\\\\\boxed{E\approx1.41421}[/tex]

[tex]E^2=1.41421^2\approx 1.999\ 998[/tex]
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