matheo2nd
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Bonjour
On note k un entier naturel non nul.
On défini alors le nombre T(k)=k(1+k)/2

1.Démontrer que 8*t(k)+1 est le carré d’un nombre entier.
2.démonter que T(k)+T(k+1) est le carré d’un nombre entier.
3.démontrer que T(k) est toujours un nombre entier.On pourra étudier les deux cas : si k est pair ou si k est impair

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

T(k) est un nombre triangulaire (1,3,6,10,....)

1)

[tex]T(k)=\dfrac{k*(k+1)}{2} \\\\8*T(k)+1\\=8*\dfrac{k*(k+1)}{2} +1\\=4k*(k+1)+1\\=4k^2+4k+1\\=(2k)^2+2*(2k)+1\\=(2k+1)^2\\[/tex]

2)

[tex]T(k)+T(k+1)\\=\dfrac{k*(k+1)}{2} +\dfrac{(k+1)*(k+2)}{2} \\=\dfrac{k+1}{2}*(k+(k+2)) \\=\dfrac{k+1}{2}*2*(k+1)\\\\ =(k+1)^2\\[/tex]

3)

Si k est pair alors k=2*n avec n entier

[tex]T(k)=\dfrac{k*(k+1) }{2}\\=\dfrac{2n*(2n+1) }{2}\\==n(2n+1)[/tex]

est un entier

Si k est impair alors k=2n+1

[tex]T(k)=\dfrac{k*(k+1) }{2}\\\\=\dfrac{(2n+1)*(2n+1+1) }{2}\\=\dfrac{(2n+1)*2*(n+1) }{2}\\\\=(2n+1)*(n+1)\\[/tex]

est un entier.

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