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Bonjour,
Une question un peu complexe :
Soit n un entier naturel impair.
Expliquer pourquoi (n-1) x n (n+1) est divisible par 8

Petite aide : puisque N est impair il s'écrit n= 2k + 1 et pour conclure il faudra différencier le cas où k est pair et celui où il est impair.

Sagot :

Wyrm

On a (n-1)n(n+1) = (2k + 1)2k(2k+2) = (4k²+2k)(2k+2) = 8k^3+8k²+4k²+4k

= 8k^3+12k²+4k

Si k est pair, alors on a  8k^3+12k²+4k ≡ 12k²+4k (mod8)

12(2*c)²+4*(2c) = 12k²+4k = 48c²+8c or

48c²+8c ≡ 0 (mod 8)

Par conséquent, si k est pair,  (n-1)n(n+1) est divisible par 8.

Si est impair, alors on a  8k^3+12k²+4k ≡ 12k²+4k (mod8)

12(2*c'+1)²+4*(2c'+1) = 12(4c'²+1+8c')+8c'+4 = 48c'²+12+12*8c'+8c'+4 =

48c'²+16+12*8c'+8c' et 48c'²+16+12*8c'+8c' ≡ 0 (mod8)

Par conséquent, si k est impair,  (n-1)n(n+1) est divisible par 8.

En conclusion, ∀n avec n impair, 8 divise (n-1)n(n+1)

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