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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice de maths s'il vous plaît, je n'y arrive pas.

On considère les événements suivants :
S6 : « obtenir au moins un six en quatre lancers d’un dé équilibré »,
D6 : « obtenir au moins un double-six en lançant vingt-quatre fois deux dés équilibrés ».
Quel est l’événement le plus probable entre S6 et D6 ?

1) On lance un dé équilibré quatre fois de suite.
Pour chaque question, vous donnerez les résultats sous forme de fraction.
a) Quel est le nombre d'issues de l'expérience ? Expliquer.
b) Calculer la probabilité de l’événement S6 .
En déduire la probabilité de S6.

2) On donnera les résultats sous forme décimale à 10 puissance -3 près.
a) On lance deux dés, un rouge et un vert, en même temps, une fois, quel est le nombre d’issues ?
Expliquer.
b) Maintenant, on lance ces deux dés deux fois, quel est le nombre d’issues ? Expliquer.
c) Si on lance ces deux dés 24 fois, quel est le nombre d’issues ?
d) Calculer la probabilité de l’événement D6 .

3) Conclure.

Sagot :

joeldongmo57

Réponse :

Bonjour/bonsoir, désolé de te répondre aussi tard, mais j'espère que ceci pourra t'aider. Déjà, commençons par quelques rappels:

  • En terme de lancer de dés, les issues sont le plus souvent des p-uplets (p étant le nombre de lancers) dans l'ensemble des valeurs portées par les faces {1,2,3,4,5,6}. Ce qui fait que pour un dé équilibré et pour deux lancer, nous auront par exemple la face 4 et 5 qui donneront le couple issue (4,5) ou (5,4).
  • Ensuite, dans l'univers des probabilités, nous savons que la probabilité d'un événement A peut être obtenue par : [tex]P(A) = 1 - P(A^C)[/tex] où [tex]A^C[/tex] est l'événement contraire de A.

Explications étape par étape

1. a- Nombres d'issues de l'expérience

En lançant un dé équilibré 4 fois, cela revient à aligner les résultats de chaque lancer 4 fois à la suite, donc le nombre d'issues correspond à un 4-uplet dans l'ensemble des valeurs des faces du dé. Comme le dé compte six faces, nous aurons [tex]\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^4[/tex] et [tex]Card \Omega = 6^4[/tex].

b- Calculer la probabilité de l'événement S6

Nous avons besoin du nombre de toutes les issues contenant au moins un "6"; ce qui renvoie au contraire des issues où "6" n'apparaît pas du tout, c'est à dire :  [tex]\{1,2,3,4,5\}^6[/tex] soit un cardinal de [tex]5^4[/tex]. On calcule alors:

[tex]P(S6) = 1 - \frac{5^4}{6^4}[/tex]

2. a- Nombres d'issues pour 1 lancer.

Ici, nous avons deux dés, ainsi l'ensemble des valeurs est un croisement entre les ensembles de deux dés, soit [tex]\{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\}[/tex] pour un total de nombres d'issues de 6².

b- Nombres d'issues pour deux lancers

Nous aurons un 2-uplets avec les deux ensembles croisés des deux dés, soit: [tex]\{1,2,3,4,5,6\}^2 \times \{1,2,3,4,5,6\}^2[/tex] pour un cardinal de [tex](6^2)^2 = 36^2[/tex].

c- Nombres d'issues pour 24 lancers

Pour 24 lancers, nous auront donc :

[tex]\Omega = \underbrace{ \{1,2,3,4,5,6\}^2 \times ... \times \{1,2,3,4,5,6\}^2}_{24\ fois}[/tex]  pour un cardinal de [tex]36^{24}[/tex]

d - Probabilté pour l'événement D6

Maintenant nous considérons l'événment où il n'y a pas de double 6, ce qui nous donne le sous ensemble:

[tex]D6^C = \underbrace{ \{1,2,3,4,5\}^2 - {6,6} \times ... \times \{1,2,3,4,5\}^2-{6,6}}_{24\ fois}\\\\Card(D6^C) = 35^{24}[/tex]

Ainsi nous obtenons la probabilité:

[tex]P(D6) = 1 - \frac{35^{24}}{36^{24}} = 0,491[/tex]

3. Ainsi, nous pouvons constater qu'il est plus probable d'obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois un dé que d'obtenir un double 6 en lançant 24 fois deux dés.

Pour aller plus loin sur les probabiltés.. https://nosdevoirs.fr/devoir/2644006

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