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bonjour j’ai besoin de l’aide pour l’exercice 2 ou je n’ai vraiment rien compris et pour l’exercice 3 je trouve pas l’expression un afin de faire la deuxième étape et ça me bloque tout du coup
ça serait très gentil de votre part de m’expliquer

Bonjour Jai Besoin De Laide Pour Lexercice 2 Ou Je Nai Vraiment Rien Compris Et Pour Lexercice 3 Je Trouve Pas Lexpression Un Afin De Faire La Deuxième Étape Et class=

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

Exercice 2

f(x) = (x - 1)([tex]\sqrt{x^{2}+1 }[/tex])

on a une fonction de la forme u.v avec u(x) = x - 1 et v(x) = [tex]\sqrt{x^{2} +1}[/tex]

La dérivée de f sera de la forme u'.v + u v'

avec u'(x) = 1 et v'(x) = [tex]\frac{2x}{2\sqrt{x^{2} +1} }[/tex] = [tex]\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }[/tex]

donc f'(x) = 1 × [tex]\sqrt{x^{2} +1}[/tex] + (x - 1) × [tex]\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }[/tex]

f'(x) = [tex]\frac{(\sqrt{x^{2} +1})(x^{2} +1) }{x^{2} +1} + \frac{(x^{2} -x)(\sqrt{x^{2} +1}) }{x^{2} +1}[/tex]

f'(x) = [tex]\frac{(\sqrt{x^{2} +1})(x^{2} +1+x^{2} -x) }{x^{2} +1}[/tex]

f'(x) = (2x² - x + 1)([tex]\frac{\sqrt{x^{2} +1} }{x^{2} +1}[/tex])

Exercice 3

a) On peut conjecturer que uₙ = 5ⁿ - 1

b) Soit P(n) la propriété : uₙ = 5ⁿ - 1

Initialisation :

u₀ = 0 et 5° - 1 = 1 - 1 = 0

P(0) est donc vraie

Hérédité :

Soit un certain n tel que uₙ = 5ⁿ - 1

Démontrons que uₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹ - 1

On a uₙ₊₁ = 4 + 5uₙ

⇔ uₙ₊₁ = 4 + 5(5ⁿ - 1)      (par hypothèse de récurrence)

⇔ uₙ₊₁ = 4 + 5×5ⁿ - 5 = 5ⁿ⁺¹ - 1

Donc P(n+1) est vraie lorsque P(n) est vraie

La propriété P(n) est donc héréditaire

Conclusion :

La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire.

Donc quelque soit n entier naturel, uₙ = 5ⁿ - 1

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