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Sagot :
Réponse :
1) calculer n² + n + 1 en fonction de k
on suppose n est paire ⇔ n = 2 k avec k ∈ Z
n² + n + 1 = (2 k)² + 2 k + 1 = 4 k² + 2 k + 1
en déduire que si n est pair , n² + n + 1 est impair
n est pair donc n² + n + 1 = 4 k² + 2 k + 1 = 2(2 k² + k) + 1
on pose k' = 2 k² + k or (2 k² + k) ∈ Z donc k' ∈ Z
n² + n + 1 = 2 k' + 1 donc n² + n + 1 est impair
2) calculer n² + n + 1 en fonction de k
on suppose n impair ⇔ n = 2 k + 1 , k ∈ Z
n² + n + 1 = (2 k + 1)² + 2 k + 1 + 1 = 4 k² + 4 k + 1 + 2 k + 1 + 1
= 4 k² + 6 k + 3
en déduire que si n est impair , n² + n + 1 est impair
n² + n + 1 = 4 k² + 6 k + 3 = 4 k² + 6 k + 2 + 1 = 2(2 k² + 3 k + 1) + 1
on pose k' = 2 k² + 3 k + 1 or 2 k² + 3 k + 1 ∈ Z donc k' ∈ Z
donc n² + n + 1 = 2 k' + 1 est impair
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