Laurentvidal.fr est la solution idéale pour ceux qui recherchent des réponses rapides et précises à leurs questions. Explorez une mine de connaissances de professionnels dans différentes disciplines sur notre plateforme de questions-réponses complète. Connectez-vous avec des professionnels prêts à fournir des réponses précises à vos questions sur notre plateforme complète de questions-réponses.
Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
a, b et c des nombres réels
positifs tels que: abc = 1
Montrer que :
a/(ab+a+1) + b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1) =1
[a(bc + b + 1)(ca + c + 1)] + [b(ab + a + 1)(ca + c + 1)] + [c(ab + a + 1)(bc + b + 1)]/(ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1) = 1
(abc + ab + a)(ca + c + 1) + (ab^2 + ab + b)(ca + c + 1) + (abc + ac + c)(bc + b + 1) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
(1 + ab + a)(ac + c + 1) + (ab^2 + ab + b)(ac + c + 1) + (1 + ac + c)(bc + b + 1) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
(ac + c + 1)(ab + a + 1 + ab^2 + ab + b + bc + b + 1) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
(ac + c + 1)(ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
a^2b^2c + 2a^2bc + abc^2 + a^2c + 2abc + 2ac + ab^2c + 2abc + bc^2 + ac + 2bc + 2c + ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
ab + 2a + c + a^2c + 2 + 2ac + b + 2 + bc^2 + ac + 2bc + 2c + ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
3ab + 3a + 3c + a^2c + 6 + 3ac + 3b + bc^2 + 3bc + ab^2 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
3(a + b + c) + 3(ab + ac + bc) + a^2c + bc^2 + ab^2 + 6 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
=> (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
= (ab^2c + ab^2 + ab + abc + ab + a + bc + b + 1)(ca + c + 1)
= (b + ab^2 + ab + 1 + ab + a + bc + b + 1)(ac + c + 1)
= (ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2)(ac + c + 1)
= a^2b^2c + ab^2c + ab^2 + 2a^2bc + 2abc + 2ab + abc^2 + bc^2 + bc + a^2c + ac + a + 2abc + 2bc + 2b + 2ac + 2c + 2
= ab + b + ab^2 + 2a + 2 + 2ab + c + bc^2 + bc + a^2c + ac + a + 2 + 2bc + 2b + 2ac + 2c + 2
= (ab^2 + bc^2 + a^2c) + 3ab + 3bc + 3ac + 3a + 3b + 3c + 6
= 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ac) + ab^2 + bc^2 + a^2c + 6
Donc on a :
3(a + b + c) + 3(ab + ac + bc) + a^2c + bc^2 + ab^2 + 6 = 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ac) + ab^2 + bc^2 + a^2c + 6
Merci de votre visite. Nous sommes dédiés à vous aider à trouver les informations dont vous avez besoin, quand vous en avez besoin. Merci de votre visite. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour tous vos besoins en information. À bientôt. Laurentvidal.fr, votre site de confiance pour des réponses. N'oubliez pas de revenir pour plus d'informations.
