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Bonjour,
Je n’arrive pas à résoudre un exercice type concours général de mathématiques.
Voici l’énoncé

On définit la suite (Un) par son premier terme U0 positif, et la relation de récurrence :
Pour tout entier naturel n, Un+1 = Sqrt(Un)+ 1/(n+1)
Cette suite est-elle convergente ?

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Uo positif ; Un+1 = √Un  + 1/(n+1)

■ supposons cette suite convergente vers une limite L :

  on doit résoudre : L = √L  + 1/(n+1)

  or n tendra vers l' infini :

                                L = √L

                               L² = L

                         L² - L = 0

                     L ( L - 1 ) = 0

                     L = 0 ou L = 1

■ conclusion :

  la Suite est convergente vers 1 .

■ exemple avec Uo = 0,5 :

   U1 ≈ 1,207 ; U2 ≈ 1,432 ; U3 ≈ 1,447 ;

   U4 = 1,403 ; U5 = 1,351 ; U6 = 1,305 ;

   U7 = 1,267 ; U8 = 1,237 ; U9 = 1,212 ;

   U15 = 1,13 ;

   U28 = 1,07 ;  

   U33 = 1,06 ;

   U66 = 1,03 ;

   U98 = 1,02 ; ...

Nepenthes

Réponse :

Ah, voila un exercice intéressant !

Les recettes habituelles ne marchent pas ici. Ce n'est pas une suite arithmétique, pas une suite géométrique, et on ne peut pas conclure facilement sur la croissance (ou la décroissance) de la chose.

On va faire une analyse-synthèse. C'est une démarche très utilisée en maths pour montrer qu'un truc existe. Voila comment on procède :

1/ On suppose que le truc existe, et on voit ce qui est susceptible de marcher. (analyse)

Ici, le truc, c'est la limite de ta suite. On suppose qu'elle existe et que c'est un réel l.

Dans la relation de récurrence, en passant à la limite, on trouve,

[tex]u_{n+1} = \sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1} \\\\l = \sqrt l + 0[/tex]

(bien évidemment il faudra démontrer que ta suite est à termes positifs, et que si l existe alors l >= 0, mais ça c'est l'affaire d'une récurrence assez immédiate).

Donc tu as l qui est positif et égal à sa racine, i.e. l² = l, soit l = 0 ou l = 1. On a déjà bien avancé. Maintenant, est-ce que la suite (un) peut converger vers 0 ou 1 ?

On va éliminer 0. Pour ça, un indice, tu as u1 >= 1, puis récurrence pour montrer que un >= 1.

2/ On vérifie si les candidats marchent.  (synthèse)

Maintenant, il reste le 1 : est-ce que cette suite converge, enfin ?!

On va utiliser pour ça le théorème d'encadrement. Soit la suite (vn) définie à partir du rang k par : vk = uk et vn+1 = √vn +1/k, k étant une constante arbitraire.

Tu peux démontrer facilement que pour tout n, on a un <= vn et que la suite (vn) converge vers [tex]\sqrt{\frac{1+ \sqrt{1+\frac 4k}}{2}}[/tex].

Normalement, cela te suffit pour conclure : il faut faire tendre k vers l'infini. Tu montres que ta suite converge vers 1. Pour cela tu peux noter la limite ci-dessus [tex]\alpha (k)[/tex] par exemple, puis utiliser la définition de la limite (en sachant qu'au-delà d'un certain rang tu peux encadrer ta suite par 1 et [tex]\alpha (k) + \epsilon[/tex]).

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