Réponse :
Explications étape par étape
1) pour résoudre f(x) = 0 graphiquement tu dois regarder les points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.
par le calcul : propriété de collège : si a x b = 0 alors soit a =0 soit b =0
tu résous donc séparément les 2 équations : (x - √3) = 0 et (x + √3) = 0
2) j'ose espérer que tu sais tracer une droite d'équation donnée ? g(x) = x
indication : il te faut 2 points donc tu choisis 2 valeurs de x et tu calcules la valeur de g(x) correspondante...
résoudre f(x) > g(x) reviens à x³ - 4x > 0 qu'il faut factoriser ...
x³ - 4x = x (x² - 4 ) = identité remarquable... = x ( x-2) (x+2)
reste à étudier le signe de cette expression à l'aide d'un grand et beau tableau de signe...
à vérifier graphiquement ensuite.
3) trouves toutes les droites horizontales qui touchent 3 fois la courbe...
perso graphiquement j'obtiens l'intervalle [-2 ; 2] .
Bonjour,
Je ne suis pas sur que te résoudre cet exercice te permettra de réussir ton contrôle mais je vais essayer d'expliquer au maximum la démarche.
1) Pour résoudre graphiquement, f(x) = 0, on regarde en quels points [tex]C[/tex] coupe l'axe des abscisses, on voit donc que f(x) = 0 admet 3 solutions, à savoir [tex]-1,7[/tex] ( la valeur exacte est [tex]-\sqrt{3}[/tex]), 0 et 1,7 (valeur exacte [tex]\sqrt{3}[/tex])
Par la calcul, on peut remarquer factoriser par [tex]f(x)[/tex] par [tex]x[/tex], on trouve donc
[tex]f(x) = x(x^2 - 3)[/tex]
Puis on remarque que [tex]x^2 - 3[/tex] est une identité remarquable de la forme [tex]a^2 - b^2[/tex] où [tex]a = x[/tex] et [tex]b = \sqrt{3}[/tex] et donc [tex]x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})[/tex]
et donc finalement,
[tex]f(x) = x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})[/tex]
On sait que [tex]a\cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \ ou \ b = 0[/tex]
donc [tex]f(x) = 0 \Leftrightarrow x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ ou \ x = \sqrt{3} \ ou \ x = -\sqrt{3}[/tex]
On retrouve bien les résultats de la lecture graphique.
2) Je pense qu'il n'y a aucun problème pour tracer [tex]g[/tex]
Ensuite,
[tex]f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) > 0[/tex]
donc il suffit d'étudier le signe de la fonction
[tex]h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x - x = x^2 - 4x[/tex]
On va d'abord déterminer les racines de [tex]h[/tex] de la même manière que pour la question 1 :
[tex]h(x)= x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x^2 - 2^2) = x(x-2)(x+2)[/tex]
Les racines sont donc -2, 0 et 2.
A l'aide d'un tableau de signe, on trouve que [tex]h[/tex] est positive sur [tex]]-2,0[\cup]2,+\infty[[/tex] et donc [tex]f[/tex] est strictement supérieur à [tex]g[/tex] sur cette même réunion d'intervalles.
On retrouve le même résultat graphiquement.
3) On remarque graphiquement que [tex]m[/tex] admet 3 antécédents si : [tex]m \in ]-2, 2[[/tex]