SYMBISYS
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bonsoir svpl cet exercixe j en ai vraiment besoin merci bcp
Exercice 8.
On considère dans le plan le cercle (C) d'équation carte-
sienne
x² + y² – 4x+3=0
1. Déterminer le centre et le rayon du cercle (C).
2. On considère la droite (Dm) : y = x + m avec
m appartien a R
(a) Étudier l'intersection du cercle (C) et la droite
(D).
(b) Soit Im le milieu du segment (MM') tel que M
et M' sont les points d'intersection du cercle (C)
et la droite (Dm).
Trouver les coordonnées du point Im, puis dé-
terminer l'ensemble des points Im quand m va-
rie sur R.​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape

■ équation du Cercle :

  (x-2)² + y² = 1

  Centre (2 ; 0) ; Rayon = 1 .

■ intersection Cercle-droite :

  y² = 1 - (x-2)² et y² = x² + 2mx + m²

  on doit donc résoudre :

  1 - x² + 4x - 4 = x² + 2mx + m²

  2x² + 2mx - 4x + m² + 3 = 0

  2x² + 2(m-2)x + (m²+3) = 0

  discriminant Δ = 4(m-2)² - 8(m²+3)

                           = 4m² - 16m + 16 - 8m² - 24

                           = -4m² - 16m - 8

                           = -4(m² + 4m +2)

    racines : m1 = -2-√2 ; m2 = -2+√2

■ étude du signe du discriminant :

  m --> -∞       -2-√2          -2+√2        +∞

  Δ -->        -        0      +        0       -

■ conclusion :

  il faut m ∈ [ -2-√2 ; -2+√2 ] pour avoir une intersection

■ exemple avec m = -1 :

  2x² - 6x + 4 = 0 donc x² - 3x + 2 = 0

                                        (x-1) (x-2) = 0

  d' où les points d' intersection : J (1 ; 0) et K (2 ; 1) .

  conclusion : le milieu cherché (1,5 ; 0,5) .

■ exemple avec m = -2 :

  2x² - 8x + 7 = 0

  milieu cherché (2 ; 0)

■ exemple avec m = -3 :

  2x² - 10x + 12 = 0 donc x² - 5x + 6 = 0

                                          (x-2) (x-3) = 0

  L (2 ; -1) et M (3 ; 0)

  milieu cherché (2,5 ; -0,5)

■ conclusion :

  l' ensemble des milieux est le segment d' équation y = 2 - x .

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