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Bonjour,
J’aurais besoin d’aide pour répondre à la deuxième question de cet exercice.
Je ne trouve pas la méthode.
J’ai essayé avec la récurrence mais je doute que ce soit la bonne méthode et de toute façon je n’y parvient pas.
Pourriez-vous m’aiguiller pour que je trouve au moins la bonne méthode, merci d’avance!

Bonjour Jaurais Besoin Daide Pour Répondre À La Deuxième Question De Cet Exercice Je Ne Trouve Pas La Méthode Jai Essayé Avec La Récurrence Mais Je Doute Que Ce class=

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

On a u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ - 5n + 6

On veut montrer que uₙ = 3 × 2ⁿ + 5n - 1

Initialisation

u₀ = 2

et 3 × 2⁰ + 5 × 0 - 1 = 3 - 1 = 2

La propriété est vraie au rang 0

Hérédité

Si à un certain rang n on a uₙ = 3 × 2ₙ + 5n -1,

on cherchera à montrer que uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ +5(n +1) - 1 = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 5n + 4

uₙ₊₁ = 2uₙ - 5n + 6

⇔ uₙ₊₁ = 2(3 × 2ⁿ + 5n - 1) - 5n + 6 (par hypothèse de récurrence)

⇔ uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 10n - 2 - 5n + 6 = 3 × 2ⁿ⁺¹ - 5n + 4

Si la propriété est vraie au rang n , elle est vraie au rang n+ 1 , elle est donc héréditaire

Conclusion

La propriété est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire.

Donc pour tout entier naturel n , uₙ = 3 × 2ₙ + 5n - 1

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