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Sagot :
Réponse :
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x + cosx)^{2} }[/tex] = - [tex]\-\infty[/tex]
Explications étape par étape :
Méthode 1 (factorisation):
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x + cosx)^{2} }[/tex] = [tex]\lim _{x\to \:-\infty \:}\left(\frac{x^3\left(1+\frac{2}{x^3}\right)}{\left(x\left(1+\frac{\cos \left(x\right)}{x}\right)\right)^2}\right)[/tex] = [tex]\lim _{x\to \:-\infty \:}\left(\frac{x\left(\frac{2}{x^3}+1\right)}{\left(1+\frac{\cos \left(x\right)}{x}\right)^2}\right)[/tex]
= [tex]\frac{\lim _{x\to \:-\infty \:}\left(x\left(\frac{2}{x^3}+1\right)\right)}{\lim _{x\to \:-\infty \:}\left(\left(1+\frac{\cos \left(x\right)}{x}\right)^2\right)}[/tex] =[tex]\frac{\left(-\infty \left(0+1\right)\right)}{\left(\left(1+0\right)^2\right)}[/tex] [tex]\frac{-\infty \:}{1}[/tex] = - [tex]\-\infty[/tex]
Méthode 2 (théorème des gendarmes):
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x + 1)^{2} }[/tex] ≤ [tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x + cosx)^{2} }[/tex] ≤ [tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x - 1)^{2} }[/tex]
et: [tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x + 1)^{2} }[/tex] = [tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x - 1)^{2} }[/tex] = - [tex]\-\infty[/tex]
donc, d'après le théorème des gendarmes: [tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{3} +2}{(x + cosx)^{2} }[/tex] = - [tex]\-\infty[/tex]
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