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Bonjour, pouvez-vous m’aider à résoudre l’exercice suivant ?

Pour chacune des 2 fonctions suivantes, répondre aux questions suivantes:

1) calculer la fonction dérivée
2) dresser le tableau de signes dérivée
3) en déduire le tableau de variation de fonction
4) calculer l’équation de la tangente au point d’abscisse 1

F(x) = 9x + 16/x

H(x)=X(carré) - 6x + 8 / 3x-1

Bonjour Pouvezvous Maider À Résoudre Lexercice Suivant Pour Chacune Des 2 Fonctions Suivantes Répondre Aux Questions Suivantes 1 Calculer La Fonction Dérivée 2 class=

Sagot :

broucealways

Explications étape par étape:

Bonsoir, questions classiques qui reviendront souvent :

1- La dérivée de 9x vaut 9, la dérivée de 1/x vaut - 1/x^2. Ainsi, on obtient par somme :

f'(x) = 9 - (16/x^2).

De même, la dérivée de x^2 vaut 2x, celle de 6x vaut x, celle de 8 vaut 0 (la dérivée d'une constante est toujours nulle). Au dénominateur, la dérivée de 3x - 1 vaut 3.

On sait que (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 (dérivée d'un quotient). On pose u = x^2 - 6x + 8, alors u' = 2x - 6 et v = 3x - 1 alors v' = 3.

Ainsi : g'(x) = [(2x-6)(3x-1) - 3(x^2 - 6x + 8)] / (3x - 1)^2 = [6x^2 - 2x - 18x + 6 - 3x^2 + 18x - 24] / (3x - 1)^2 = [3x^2 - 2x - 18] / (3x-1)^2 en développant.

2-Il faut commencer par établir le domaine de définition de chaque fonction. f est définie pour tout réel x different de 0, g est définie pour tout réel x different de 1/3.

On transforme f' en mettant au même dénominateur :

f'(x) = (9x^2 - 16) / x^2 = (3x - 4)(3x + 4) / x^2. (identité remarquable a^2 - b^2).

Il s'agit d'un trinôme du 2nd degré, dont le coefficient devant x^2 vaut 9, ainsi, f'(x) est positive à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur.

Les racines sont : 3x - 4 = 0 qui donne x = 4/3 et 3x + 4 = 0 qui donne x = - 4/3.

Le signe du dénominateur étant strictement positif, il est facultatif de l'étudier.

Conclusion : f'(x) >= 0 si x appartient à ]-infini ; -4/3] U [4/3 ; +infini[, f'(x) <= 0 si x appartient à [-4/3 ; 4/3].

Pour g, le dénominateur est strictement positif, on ne s'occupe donc que du numérateur, qui est un trinôme du 2nd degré.

Discriminant : D = 36 - 32 = 4 > 0.

2 solutions : x1 = (6 - 2) / 2 = 2 et x2 = (6 + 2) / 2 = 4.

Identiquement au raisonnement précédent, on conclut que :

g'(x) >= 0 sur ]-infini ; 2] U [4; + infini[ et g'(x) <= 0 sur [2 ; 4].

Tu pourras donc construire tes tableaux de signe, sans oublier d'exclure les valeurs qui annulent les dénominateurs.

3- Si le signe de la dérivée est positif, la fonction est croissante, et inversement.

Ici, f est croissante sur ]-infini ; -4/3], puis décroissante de [-4/3 ; 4/3] et croissante sur [4/3 ; +infini[.

Pour g aussi, g est croissante sur ]-infini ; 2], décroissante sur [2 ; 4], puis croissante sur [4 ; + infini[.

4- Ici, on applique la formule traditionnelle :

y = f'(a)(x-a) + f(a) représente l'équation de la tangente au point d'abscisse a.

Ainsi, pour f : y = f'(1)(x-1) + f(1) = -7(x-1) + 25 = - 7x + 32.

Pour g : y = g'(1)(x-1) + g(1) = (-17/4)(x-1) + (3/2) = -(17/4)x + (17/4) + (3/2) = -(17/4)x + 23/4.

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