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bonjour vous pouvez m'aider svp ? Exercice : Soit la suite u définie definie par uo=5 et un+1=√3un+1. 1) Montrez que (un) est décroissante. 2) Montrez que la suite (un) est minorée. 3) En déduire que la suite (un) est convergente ​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

la suite (Un) étant décroissante et minorée par 3,3  

   est bien convergente vers sa Limite 3,303 ( environ ! )

Explications étape par étape :

■ Uo = 5 ; Un+1 = √(3Un + 1)

■ ainsi U1 = 4 ; U2 = √13 ≈ 3,6 ; U3 ≈ 3,44 ; U4 ≈ 3,36 ; ...  

  on observe que la suite (Un) est positive, et décroissante

■ récurrence :

  Un+1 < Un donne √(3Un + 1) < Un

                                    3Un + 1 < Un²

                            Un² - 3Un - 1 > 0

        (Un - 3,303) (Un + 0,303) > 0

   or Un est toujours positif

   donc il faut Un > 3,303

   et on a bien Uo = 5 > 3,303

   conclusion :

  la suite (Un) est bien décroissante !

■ autre méthode pour chercher sa Limite :

   L = √(3L + 1) donne L² = 3L + 1

                                    L² - 3L - 1 = 0

                                    L ≈ 3,303

    conclusion :

    on peut admettre que la suite (Un) est minorée par 3,3 .

■ conclusion finale ☺ :

  la suite (Un) étant décroissante et minorée par 3,3  

   est bien convergente vers sa Limite 3,303 ( environ ! )

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