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bonjour, j'ai un dm à rendre pour Lundi, mais je n'arrive pas à faire l'une des question, pourriez vous m'aider svp ?

voici la question :
-on sait que √5 n'est pas rationnel.
Démontrer par l'absurde que 1+√5 n'est pas rationnel.

Sagot :

jpmorin3

bjr

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers a et b où b est non nul.

On sait que √5 n'est pas rationnel  (1)

on veut démontrer que 1 + √5 n'est pas rationnel

• on suppose que 1 + √5 est un rationnel

    alors il peut s'écrire sous la forme a/b, a et b entiers et b ≠ 0

si 1 + √5 = a/b  alors  √5 = a/b - 1

                                   √5 = (a - b)/b

a et b étant deux entiers la différence a - b est un entier

et √5 peut s'écrire sous la forme du quotient de deux entiers ( a - b  et  b)

alors √5 est un rationnel

• Ceci est en contradiction avec (1)

c'est donc que la supposition "1 + √5 est un rationnel" est fausse

on en conclut que  1 + √5 est  un irrationnel

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