Réponse
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
2)
En vecteurs :
AB(5-3;-1-3) ==>AB(2;-4)
BC(1-5;-3+1) ==>BC(-4;-2)
Donc :
AB²=2²+(-4)²=20
BC²=(-4)²+(-2)²=20
Comme il s'agit de mesure , AB²=BC² implique AB=BC ( en mesures).
Donc ABC est isocèle en B.
Vect AC(1-3;-3-3) ==>AC(-2;-6) donc :
AC²=(-2)²+(-6)²=40
Par ailleurs : AB²+BC²=20+20=40
Donc AC²=AB²+BC²
D'après la réciproque de Pythagore , ABC est rectangle en B.
Donc ABC rectangle-isocèle en B.
3)
xI=(xA+xC)/2=(3+1)/2=2 et idem yI.
On trouve : I(2;0)
4)
Donc I est le milieu de [BD]. OK ?
xI=(xB+xD)/2 et idem pour yI=....
Ce qui donne :
2=(5+xD)/2 ==>xD=4-5=-1
0=(-1+yD)/2 ==>yD=1
Donc :
D(-1;1)
5)
Un quadrilatère n'est jamais isocèle !!!
ABCD a ses diagonales qui se soupent en leur milieu I : c'est donc un parallélogramme.
Ce parallélogramme a un angle droit en B : c'est donc un rectangle.
Ce rectangle a 2côtés [AB) et [CD] consécutifs de même mesure : c'est donc un carré!
6)
a)
En vecteurs :
DA(3+1;3-1) ==>DA(4;2)
AE(5-3;4-3) ==>AE(2;1)
2AE(4;2)
Donc :
DA=2AE
qui, prouve que les vecteurs DA et AE sont colinéaires avec A en commun.
Donc les points D, A et E sont alignés.
b)
On sait que ABCD est un carré donc l'angle DAB est droit et donc la droite (DE) est perpendiculaire à [BA] qui est un rayon du cercle C , ce qui prouve que (DE) est la tangente à C en A.
7)
a)
En vecteurs :
BF(7-5;3+1) ==>BF(2;4) donc :
BF²=2²+4²=20
Donc BF=BA ( en mesures ) donc F sur le cercle C.
b)
Il faut montrer que le triangle EFB est rectangle en F.
En vecteurs :
EF(7-5;3-4) ==>EF(2;-1) donc EF²=2²+(-1)²=5
BE(5-5;4+1) ==>BE(0;5) donc BE²=0²+5²=25
BF²=20 ( voir 7)a))
BF²+EF²=20+5=25
Donc :
BE²=BF²+EF²
D'après la réciproque du ..., le triangle EFB est rectangle en F.
Donc (BF) est perpendiculaire à (EF) ; ce qui prouve que (EF) est tangente au cercle C en F.
voila
