Devoir Non Surveillé à rendre le lundi 23 mai Exercice 1 Soit (O;i;un repère orthonormé. On appelle distance d'un point A à une droite (d) la longueur AH où H est le projeté orthogonal de A sur (d). Soit (d) la droite d'équation -w+4y 2 = 0 et le point A de coordonnées (-1;3). 1. Représenter la situation dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 2. Calculer, en justifiant, les coordonnées du point H, projeté de A sur (d). 3. Calculer la distance de A à (d) et vérifier graphiquement la réponse. Exercice 2 ABC est un triangle tel que BC = 15, AB = 13 et AC = 14. H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). 1. Représenter la situation en choisissant une unité adaptée. 2. Calculer cos BAC et en déduire sin BAC. 3. Démontrer que les longueurs BH, AH et HC sont des entiers naturels. Exercice 3 Dans un repère orthonormé (O; i Í), on donne le cercle C d'équation 2 +y2- 4r +6y +3 = 0 et la droite d d'équation 2 - y-2 = 0. 1. Construire C et d en justifiant la construction. 2. On note M et N les points d'intersection de C et d. On cherche à connaître les coordonnées de ces deux points. (a) Justifier que les coordonnées de M et N sont solutions du système 2at- y2 =0 (S) a2+2-4 +6y +3 =0. (b) Démontrer que (S) équivaut au système (S):5r2-5 : = = 22c 0. - 2 (c) En déduire les coordonnées de M et N. Exercice 4 1. Soit ABC est triangle. Pour tout point M du plan, montrer l'égalité MA.BC + MB.CA + MČ.AB = 0. 2. On appelle H le point d'intersection de deux hauteurs du triangle issues de A et B. Montrer que H appartient aussi à la hauteur issue de C. Exercice 5 La figure ci-contre représente un triangle ABC tel que AC = 6 cm. Le point H est le pied de la hauteur issue de B et on a BH = 4 cm. Les points M, N et P sont définis par: AM-AB, BN-BO et CP- On cherche à savoir si les droites (AM), (BP) et (CM) sont concou- rantes. 1. Construire la figure dans un repère orthonormé d'origine H. 2. Donner les coordonnées des points A, B et C et caleuler celles des points M, N et P. 3. Déterminer une équation de chacune des droites (AN), (BP) et (CAM). 4. Calculer les coordonnées du point d'intersection D de (BP) et (CM). 5. Conclure.
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