Bonjour,
prenons deux nombres complexes a et b tels que
[tex]a+b=4\\\\\dfrac1{a}+\dfrac1{b}=\dfrac1{2}[/tex]
Déjà on va les prendre différents de 0 pour pouvoir écrire la seconde équation. Et alors,
[tex]\dfrac1{a}+\dfrac1{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{4}{ab}=\dfrac1{2}\\\\\textbf{donc}\\\\ab=4*2=8[/tex]
Nous devons trouver a et b tels que leur somme est 4 et leur produit est 8.
Nous savons de notre cours de Première sur les trinômes que a et b sont alors solution de
[tex]z^2-4z+8=0[/tex]
On peut le retrouver facilement, en considérant a et b racines, nous avons
[tex](z-a)(z-b)=z^2-(a+b)z+ab[/tex]
Nous continuons à utiliser les résultats du cours sur les équations du second degré et on peut calculer le discriminant.
[tex]\Delta=4^2-4*8=4(4-8)=-16=(4i)^2[/tex]
Donc les nombres recherchés sont
[tex]a=\dfrac{4+4i}{2}=2+2i\\\\b=\dfrac{4-4i}{2}=2-2i\\\\[/tex]
On vérifie bien que a+b=4 et
[tex]\dfrac1{a}=\dfrac1{2+2i}=\dfrac{2-2i}{(2+2i)(2-2i)}=\dfrac{1-i}{4}\\\\\dfrac1{b}=\dfrac1{2-2i}=\dfrac{2-2i}{(2+2i)(2-2i)}=\dfrac{1+i}{4}\\\\\dfrac1{a}+\dfrac1{b}=\dfrac{2}{4}=\dfrac1{2}[/tex]
Roule ma poule, emballé c'est pesé, voilà une démontration qui s'achève dans la joie et la légèreté.
Merci
