Zerator
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Bonsoir j'ai un problème concernant un exercice de maths de terminale S et j'aimerais bien de l'aide :


f(x)= sin(x) +1/2sin(2x)


a) Montrer que f'(x)= (cosx+1).(2cos(x)-1)

Je n'arrive pas à ce résultat, je trouve : f'(x)=cos(x)+2cos(2x)

Comment faire ?


b) Résoudre l'équation : f'(x)=0 et en déduire le signe de f'(x)

Puis dresser le tableau de variation de f(x).

Alors là je ne vois vraiment pas comment faire pour résoudre l'équation.


Merci de votre aide.

Sagot :

aminaelor02

voila f'(x)=cosx+1/2×2cos2x

=cosx+cos2x

=cosx+2(cosx)^2-1

et si tu as develpppé la repense de f'x tu vas trouver la meme reponse ok?

View image aminaelor02
ecto220

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

f(x) = sin(x) + [tex]\frac{1}{2}[/tex] sin(2x)

a) f'(x) = cos(x) + [tex]\frac{1}{2}[/tex] × 2 × cos(2x) = cox(x) + cos(2x)

f'(x) = cos(x) + 2 cos²(x) - 1 = 2cos²(x) + cos(x) - 1

et (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 2cos²(x) - cos(x) + 2cos(x) -1 = 2cos²(x) + cos(x) - 1

donc f'(x) = (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1)

b) f'(x) = 0 ⇔ (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 0

⇔ cos(x) + 1 = 0         ⇔ cos(x) = -1       ⇔ x = π           ⇔ x = π + 2kπ

ou 2cos(x) - 1 = 0            2cos(x) = 1         cos(x) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]           x = [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] + 2kπ

                                                                                          ou x =[tex]-\frac{\pi }{3}[/tex] + 2kπ

La fonction f(x) est impaire ,il y a donc une symétrie par rapport  à l'origine du repère. Elle est périodique de période 2π ,on va donc étudier les variations sur l'intervalle [0 ; 2π],puisque les mêmes variations se répéteront ensuite sur [2π ; +∞[ et on aura une symétrie sur ]-∞ ; 0]

Sur [0 ; 2π] , f'(x) s'annule pour x = [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; x = [tex]\pi[/tex] et x = [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]

f'(x) est donc négative sur [[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ] et positive sur [0 ; [tex]\frac{\pi }{3}[/tex]]∪[[tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex]]

f(x) est donc croissante sur [0 ; [tex]\frac{\pi }{3}[/tex]]∪[[tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex]] et décroissante sur [[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]]

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